一种能打印自己描述的机器
设Px为图灵机：
输入w：
- 擦除磁带。
- 在磁带上打印x，然后停止。
现在考虑机器B，它本质上是一个Px生成器。
输入w：
- 构造Pw．
- 擦除磁带。
- 写<Pw>在磁带上，然后是w，然后停下来。
接下来，我们考虑由其他图灵机组成的机器。例如，假设N和M是图灵机。组合物NM是做以下事情的机器。
输入w：
- 在输入端运行N，直到N停止。
- 把磁带头倒回磁带的开头。
- 在磁带上剩下的N上运行M。
使用上面定义的机器和思想，我们现在可以构造一台打印自己描述的机器。机器的组成是PB。这台机器是这样做的：
- 擦除磁带。
- 在磁带上打印。
- 构造P<B>，然后打印<P<B>>在磁带上，后面跟着<B>。
递归定理
递归定理建立了内省作为图灵机使用的有效技术。在内省技术中，图灵机获得自己的描述，然后使用该描述作为它正在进行的计算的一部分。
这是递归定理的形式表述。
设T是计算函数T的图灵机：Σ*×Σ*→Σ*。有一个图灵机R，它计算函数R： Σ*→Σ*，使得
r(w) = t（< r >,w）
对于赢博体育w∈Σ*。
证明递归定理的一种方法是构造。我们演示了如何将任何图灵机T转换为定理中描述的新机器R。
我们需要的机器是一个组合：P
B
T。机器的第一部分是稍作修改的版本Px：
输入w：
- 擦除磁带。
- 在纸带上打印x，然后是w，然后停止。
同样的,B
是稍作修改的版本B：
对于输入x，w：
- 构造P
x． - 擦除磁带。
- 打印<P
x>在磁带上，然后是x然后w． - 停止。
下面的序列显示了运行时磁带的样子R =P
B
T对于任何输入w：
在开始:w后P运行:<B
T>,w后B
运行:<P
B
T>,w后T运行:t(<P
B
T>,w）
我们现在有一台机器R，当它在任意输入w上运行时，计算出t（
递归定理的赢博体育
正如我上面提到的，递归定理提供的主要新功能是自省功能。这意味着我们可以制造出似乎能够看到并使用自己的描述的机器。当然，机器不能做到这一点，但递归定理给了我们下一个最好的东西：机器表现得好像它们能够看到自己的描述。
这里有一个例子。假设我们想用递归定理来制造一台可以打印自己的机器。我们先构造一个合适的T：
当输入
- 擦除磁带。
- 在磁带上打印
并停止。
这个机器T实现了映射T (
以下是R所做的：
输入w：
- 擦除磁带。
- 在磁带上打印
并停止。
这台机器似乎能够获得并使用自己的描述。它实际上并不能看见自己，但它至少表现得好像它能看见自己。一旦我们有了一台机器，它表现出我们想要的行为，我们就可以稍微改变一下术语，用这种方式重写R的描述。
输入w：
- 擦除磁带。
- 获取我们自己的描述，
。 - 在磁带上打印
并停止。
递归定理的一个主要赢博体育是，它使计算理论中常见结果的证明更容易构造。一个经典的例子是反证法，证明ATM是不可判定的，构造起来要容易得多。
假设ATM可由某台机器H决定，我们用H构造一台机器B：
输入w：
- 获取我们自己的描述，。
- 在
不管我们给B的输入是什么，B的行为都会和H预测的相反当它在这个输入上运行时。
另一个有趣的赢博体育是证明不可能确定某个图灵机T是否是接受L(T)的最小可能图灵机。为了证明这个结果，我们引入了语言
MINTM = {
这里有一个矛盾的证据，证明这种语言是不可判定的。我们利用递归定理构造了一个特殊的机器C：
输入w：
- 获取我们自己的描述，
。 - 运行枚举器最小值TM直到它打印出机器的描述<D>大于<C>。
- 模拟D在w上运行，并做它所做的。
我们刚刚构造的机器接受与大机器D相同的语言，这是一个矛盾，因为集合MINTM， D来自，应该由接受他们语言的最小机器组成。